高中數(shù)學導數(shù)知識點與例題

2021-09-11 17:14:04 　來源：網(wǎng)絡整理

高中數(shù)學導數(shù)知識點與例題！都說高中的數(shù)學是最燒腦的，因為它每個知識點之間跨度大，可對于有數(shù)學天賦的人來說，數(shù)學學起來是很輕松的，畢竟數(shù)學不需要背誦大量的基礎內(nèi)容，只要學會活學活用就好了。下面，小編為大家?guī)?/span>高中數(shù)學導數(shù)知識點與例題。

指數(shù)不等式

接下來就開始變形了。這里的不等式都是從不等式1變形得到的：

不等式1.1 $e^x\geq ex$ ，其中 $x\in \mathbb{R}$ 。

證明在不等式1中，用 $x-1$ 代替 $x$ 得： $e^{x-1}\geq x\Leftrightarrow e^x\geq ex$ 。

注意到在不等式1.1中， $y=ex$ 是曲線 $y=e^x$ 在 $x=1$ 處的切線，推廣到任意一點的切線后，可以得到曲線 $y=e^x$ 在 $x=x_0$ 處的切線方程為 $y=e^{x_0}\cdot x+(1-x_0)\cdot e^{x_0}$ 。

因此得到以下不等式：

不等式1.2 $e^x\geq e^{x_0}\cdot x+(1-x_0)\cdot e^{x_0}$ ，其中 $x\in\mathbb R$ ， $x_0$ 是給定的實數(shù)。

證明取定實數(shù) $x_0$ 后，在不等式1中，用 $x-x_0$ 代替 $x$ 得： $e^{x-x_0}\geq x+(1-x_0)$ $\Leftrightarrow e^x\geq e^{x_0}\cdot x+(1-x_0)\cdot e^{x_0}$ 。

當然，我們可以再對不等式1.1進行變形，將其推廣到 $n$ 次方的形式：

不等式1.3 $e^x\geq\frac{e^{n}}{n^n}\cdot x^n$ ，其中 $x>0$ ， $n$ 是給定的自然數(shù)。

證明在不等式1.1中，用 $\frac{x}{n}$ 代替 $x$ 得： $e^\frac{x}{n}\geq \frac{e}{n}\cdot x$ ，當 $x>0$ 時，兩邊同時取 $n$ 次方，可以得到 $e^x\geq\frac{e^{n}}{n^n}\cdot x^n$ 。

這個不等式說明，指數(shù)的增長速度可以比任意次數(shù)的冪函數(shù)都快。

接下來考慮用類似的方法對不等式1變形，得到一個非常重要的結論：

不等式1.4 $(1+\frac{1}{n})^n<e$ ，其中 $n\in\mathbb{N}$ 。

證明在不等式1中，用 $\frac{1}{n}$ 代替 $x$ 得： $e^\frac{1}{n}\geq \frac{1}{n}+1$ ，兩邊同時取 $n$ 次方，可以得到 $(1+\frac{1}{n})^n<e$ 。

當然還可以證明 $(1+\frac{x}{n})^n<e^x$ ，但是最常見的是 $(1+\frac{1}{n})^n<e$ 。并且根據(jù)高等數(shù)學中的結論， $e=\lim_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n$ 。

當然除了一次函數(shù)和冪函數(shù)，還可以通過變形得到分式函數(shù)相關的不等式：

不等式1.5 $e^x\le \frac{1}{1-x}$ ，其中 $x<1$ 。

證明在不等式1中，用 $-x$ 代替 $x$ 得： $e^{-x}\geq 1-x$ ，當 $x<1$ 時，移項得到 $e^x\le \frac{1}{1-x}$ 。

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善于分門別類，善于抽出本質

學習過程中會遇到大量的概念、定理公式、典型方法，對他們進行概括小結使之系統(tǒng)化是非常重要的，這是老師在課堂上常常做的事情。其實每個學生也要經(jīng)常做這件事情。開始時你可能做不好甚至不會做，這沒有關系，只要多做幾次就越來越會做，越做越好。你先去感覺老師給你的筆記，體會老師是如何對知識進行概括小結的，以后，可以在老師的基礎上結合自己的實際對知識進行有個性的分門別類，每做一次這樣的事情你的認識就會提高一次，多做幾次你的思想就有可能升華。平常我們要研究許多題型，做大量的習題，一旦抓住了一類習題的本質就要及時歸納總結，用自己的話表達對這一本質的理解。分門別類可以使學過的知識有條理，便于記憶，便于應用。抽出本質，可以極大地提高自己的認識水平。

積極主動、善于變通

失敗者有一個共同的特點，只要遇到有不會做的就不做，遇到不會解的題就不解。當一個人不做事的時候，這個人就無從發(fā)展，無法進步了，能力就越來越差。事實上，任何一件事都有很多的做法。說個“好”字可以有一百種說法，聲音的高低可以有一百種，語氣的變化也可以有一百種。跑不了5000米，先跑1000米，跑不了1000米，先跑100米，跑不了100米，先走100米，走不了，爬也行。任何一件事你無法直接做可以退一步或退幾步去做，總之要去做。不會做這道題，就做與這道題相關的課本的例題，千萬不能什么也不做。無論如何，你要動起來，不動不行，不做不行。從簡單開始，努力做事，每天堅持，你總會越來越好的。變法子做你不能直接做的事情，培養(yǎng)自己積極主動、善于變通的習慣，可以終身受用。形成這一種好習慣的重要原則是：起點要低，起動要慢，日積一日，終達目地。

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